0、 引 言
三角函數是高中教材中的一種重要函數,與其他函數相比具有很多重要的特征: 它以角為自變量,是周期函數,同時也是解決其他問題的重要工具,與后續學習的很多內容有聯系. 作為高中階段最后學習的一個基本初等函數,是深化函數性質的極好素材,因此在教學上受到教師的足夠重視. 但是從實際教學效果上來看學生掌握的內容并不理想. 造成這種結果有以下幾個原因: \\(1\\) 混淆初高中所學三角函數的定義,認為高中所學的內容就是在初中所學內容基礎上的推廣,任意角三角函數仍然是解決三角形邊角關系的工具,沒有體會其中所蘊含的函數思想. \\(2\\) 對于弧度制的引入和單位圓的定義在認知上存在障礙.為了解決上述問題,本文從 HPM 的視角下重新對三角函數的內容進行整合,探索符合學生認知規律且順應三角函數歷史發展規律的教學設計. 希望能為教師教學提供一點幫助.
1、 HPM 理論簡介
“1972 年,在第二屆國際數學教育大會上,成立了數學史與數學教學關系國際研究小組\\(International Study Group on the Relations betweenHistory and Pedagogy of Mathematics,簡稱 HPM\\) ,這也標志著一個數學教育研究的新領域出現. HPM 研究主要內容包括: 數學教育取向的數學史研究、基于數學史的教學設計、關于相似性的實證研究和數學史融入數學教學的實踐探索”. 數學史的引入對數學教學的確有一定的促進作用,但是如何引入、引入哪些內容,一直是困擾著老師們的問題,尤其在國內研究此領域的內容比較匱乏,因此在實際教學中有很多老師選擇避而不談或是簡略帶過. 數學史在數學教學中的運用方式通常有 3 種,一是提供直接的歷史信息,二是借鑒歷史進行教學,三是開發對數學及其社會文化背景的深刻覺悟. 其第二種方式就是發生教學法,通常所說的 HPM\\(數學史與數學教育關系\\) 視角下的數學教學采用的主要就是這種方法. 從哲學家、教育家和數學家的論述可以看出,發生教學法是一種借鑒歷史、呈現知識自然發生過程、介于嚴格歷史方法和嚴格演繹方法之間的一種方法. 本文基于 HPM 理論的背景下,以三角函數的概念教學為例,試圖找到將數學史與數學課堂完美融合的思路,為今后教師在教學中融入數學史提供參考案例,并將數學史在數學課堂的作用發揮到最大.
2、 三角函數概念的歷史及其重構
三角函數概念的發展前后經歷了 4000 多年,從早期在天文學中應用的三角學知識可以追溯至古巴比倫年代或者更早. 古埃及人由于尼羅河不定期的泛濫而遭受打擊,因此他們注意觀察尼羅河泛濫的規律以及時間. 后來人們注意到每逢天狼星于黃昏之后升起的日子尼羅河就會泛濫. 于是人們就開始記錄天狼星與太陽的位置,人們為了解決實際問題引入了角等概念. 但是這并不是嚴格意義上的三角學,只能算是三角學的前身,是一種對天文觀測結果進行推算的方法. 三角學最早的創建者是希臘數學家 Hipparchus\\(約公元前 180 ~ 公元前 127\\) 被稱為三角學之父. 為了定量地解決天體的位置問題,他將球面三角方法引用于此,并且制作了弦表. 弦表是在固定的圓內不同圓心角所應的弦長,此時的正弦指的是圓弧所對弦的弦長相當于現在圓心角一半的正弦線的 2 倍. 后來 Ptolemy\\(約公元 100 ~ 178\\) 在此基礎上又豐富了弦表. 在 Ptolemy 的弦表中,弦指的是當圓的半徑為 60 時弦的長度,而不是一個比值.而印度數學家 Aryabhata 與希臘人的做法不同,他默認曲線和直線可以用同一單位,此時他計算的弦是圓弧所對弦的半弦長,相當于現在所指的正弦. 其后Regiomontanus\\(1436 ~ 1476\\) 在他的著作《論各種三角形》中首次對三角學做了完整、獨立的闡述,使三角學正式從天文學中獨立出來. 在書中采用了印度人的正弦,即圓弧的半弦,明確使用了正弦函數這一概念. 討論了一半三角形的正弦定理,提出了求三角形邊長的代數解法,給出了球面三角形的正弦定理和關于邊的余弦定理. 后來哥白尼的學生、印度數學家 Rheticus\\(1514 ~ 1576\\) 最先給出角的正弦概念,把原來說弧的正弦改成了說銳角的正弦. 三角形就形成了三角關系的基本結構,相應的圓成了從屬.他把正弦、余弦、正切等定義成直角三角形的邊長之比,從而使平面三角學從球面三角學中獨立出來,至此三角學真正形成了. 總之 16 世紀,三角學從天文學中分離出來,成為數學的一個獨立分支,值得注意的是,這時所討論的“三角函數”僅限于銳角三角函數,而且研究銳角三角函數的目的在于解三角形和三角計算. 一直到 17 世紀,三角仍然是常量數學的主要內容,直到 1729 年 Euler研究插值的方法時用三角級數表示了函數,函數的思想成了三角學的組成部分,變量數學占據了核心地位. 隨著解析幾何和微積分的建立,三角函數的嚴格解析理論建立了,正弦不再是線段,而是變成了數值,是單位圓上點的縱坐標,而三角級數在實變函數的基礎上又形成了另一門重要的數學分支—調和分析.根據上面的歷史發展順序,三角函數概念\\(以正弦為例\\) 的發展歷史大致可以分為正弦是圓弧所對的弦的弦長,正弦是圓弧所對的弦的半弦長,正弦是比值,正弦是單位圓上點的縱坐標. 概括的說就是經歷了幾何的三角學,代數的三角學,解析的三角學. 學生在初中學習的銳角三角函數的內容,相當于代數的三角學,是用來解決三角形三邊關系的主要工具. 而后來當用解析的眼光來看待三角學的時候,三角函數是用來刻畫函數性質的工具而不再拘泥于解決三角形邊角關系的問題,而任意角的三角函數的研究與圓周運動密不可分. 所以銳角三角函數是研究三角形各種幾何量之間關系而發展起來的,任意角三角函數是研究現實中的周期現象而發展起來的,他們研究的現象不同,表現的性質也不同,我們既不能把任意角的三角函數看成是銳角三角函數的推廣\\(或一般化\\) ,又不能把銳角三角函數看成是任意角三角函數在銳角范圍內的“限定”.學生在高中學習的任意角三角函數的內容應該是以函數的眼光來對待,認真體會其作為函數的一些性質,尤其是周期性. 因為三角函數是刻畫現實事物周期性很好的一個模型. 教材\\(人教 A 版\\) 只是在第一節內容上安排了任意角與弧度制的內容,接下來就用單位圓給出了任意角的三角函數,教師的普遍作法也是回顧初中銳角三角函數的定義,然后讓學生考慮如何將銳角三角函數推廣的任意角三角函數. 這種講法無疑就把學生陷入一個誤區,即任意角三角函數是銳角三角函數的推廣,自然有很多同學認為任意角三角函數仍然是研究三角形三邊關系的工具只是不再局限于銳角三角形,也有很多同學排斥單位圓的定義,覺得不如初中給的“比值法”好,不直觀難用來計算. 盡管這樣的處理方式很直截了當,但對照發生教學法我們發現這種做法存在以下不足: \\(1\\) 沒有講明高中學習的三角函數與初中學習的銳角三角函數研究的內容和方法都不同,容易造成學生的概念混淆. \\(2\\) 沒有很好的利用單位圓,單位圓是函數周期性的一個很好的體現,在三角函數的后續學習中有很大的作用. 但學生在教師的實際教學中體會的很少.基于發生教學法,考慮學生在了解三角函數發展歷史之后,就不會陷入銳角三角函數同任意角三角函數概念混淆的誤區,能更好的認識單位圓在研究三角函數中的重要作用,體會其作為一個周期函數的性質等等,因此對三角函數的概念的歷史進行重構以便于教學.
3、 任意角三角函數概念的教學設計
基于三角函數概念\\(以正弦為例\\) 的發展歷史,講其進行重構并應于實際教學. 如圖 1:
3. 1 學情分析
學生在前面一節已經學習了弧度制,從弧度制一課來講數學史的引入就很有必要,很多學者在前面的研究中已經給出了很多寶貴的建議. 在前一節的很好的鋪墊下,學生已經體會到引入弧度制的必要性,這也為本節學習單位圓打下了良好的基礎. 學生在初中已經學過銳角三角函數的定義,對三角函數\\(正弦、余弦、正切\\) 有一定的了解,而且學生通過弧度制的歷史回顧,已經了解了銳角三角函數在解三角形中的作用. 因此我建議對于銳角三角函數的概念的回顧可以放在弧度制一課對弧度制的歷史回顧之中完成,因為在弧度制最早的也是為了解決三角形邊角關系的情況下產生的. 是區別于角度制的另外一種度量方式. 而在本節課任意角的三角函數中,先不要提及銳角三角函數的定義方式,以免學生發生概念的混淆. 等到學生熟練掌握了任意角三角函數的概念以后,再把初高中學習的內容進行對比,這樣即可以幫助學生建構知識體系,也能讓學生更好的體會任意角三角函數作為函數的性質.
3. 2 教學情景設計
高中生具有豐富的生活經驗和聯想,因此從現實生活入手更能激發學生的學習興趣. 如觀察: 鐘表指針的旋轉、自行車輪子的旋轉、摩天輪、跳水運動員優美的動作,這些周期現象中都存在著超過 180°的角,而且形成的圖形都與圓有關,那么我們如何研究這種周期現象呢? 任意角的三角函數是我們的好幫手,回顧歷史我們可知,正弦和余弦是一對起源于圓周運動,密切配合的周期函數,是圓對稱性的直接反映. 因此三角函數也叫圓函數,我們今天學習的內容與初中學習的銳角三角函數存在很大的差別. 就此借助單位圓引入任意角三角函數的概念.
3. 2. 1 任意角三角函數概念的教學片段
問題一: 如何借助圓來研究三角函數?
回顧歷史上數學家的做法,三角學最早起源于天文學,而三角函數是用于研究圓內接圖形\\(主要是三角形\\) 的工具,隨著后來的發展是用于研究確定行星位置的工具. 那么如何借助于圓來研究三角函數的內容呢? 通過觀察幾組圖片,鐘表兩個指針的運動軌跡、自行車輪子旋轉等圖片,激發學生的興趣. 顯然我們只需在角的終邊上找到一個點,使這個點到角的頂點的距離為 1\\(方便定義三角函數\\) ,隨著角度的任意擴大,以這個點旋轉一周的軌跡—圓,來幫助我們學習三角函數. 雖然在此處沒有提到,這是數學家歐拉的做法,將單位圓的半徑定位 1,大大方便了我們研究三角函數的過程. 我們在此引入單位圓的定義: 在直角坐標系中,我們稱以原點 O 為圓心,以單位長度為半徑的圓.
問題二: 如何利用單位圓定義任意角的三角函數的定義?
如圖 2,設 α 是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P\\(x,y\\) ,那么: \\(1\\) y 叫做α 的正弦\\(sine\\) ,記做 sinα,即sinα = y; \\(2\\) x叫做α 的余弦\\(cosine\\) ,記
問題三: 任一點 P 的選擇,對于任意角三角函數的值有沒有影響?
回顧最初引入單位圓的過程,學生借助于相似三角形的知識可以得到點 P 的選擇對于任意角三角函數的值沒有影響.
問題四: 任意角的三角函數符號的確定與點p\\(x,y\\) 的坐標有什么關系?
引導學生緊緊抓住三角函數定義來分析,r >0,三角函數值的符號決定于橫坐標、縱坐標的正負.問題五: 如何借助單位圓研究三角函數的周期性?
我們觀察圖形發現,角度每變化 360°的整數倍的時候,角的終邊又回到了同一位置,因此終邊相同的同名三角函數值應該相等. 這樣一來可以把求任意角的三角函數值,轉化為求 0 到 2π\\(0° ~360°\\) 角的三角函數值,簡化我們的計算.課后思考: 觀察單位圓,我們可以得到同角三角函數之間存在著哪些關系呢? 為一下節課研究同角三角函數的關系做好鋪墊.
4、 課堂實施與問卷調查
按照 HPM 視角下的教學設計,研究者在 2013年于北京市某重點高中實習期間做了充分的調查研究,并進行了課堂教學的實踐. 該校在高中一年級學習完必修一之后接著學習必修四的內容,可以說為任意角三角函數內容的學習做了良好的鋪墊. 該校文理科班級比例為 1: 3,考慮到文科班的同學對于歷史更感興趣效果應該優于理科班,所以選擇 2 個理科班,1 個文科班來進行教學. 但是結果卻出乎意料,理科生對本節課表示出了濃厚的興趣,甚至熱情高于文科班. 以下是對某個理科班同學的課后訪談片段:
T\\(教師\\) : 對今天這節課的感覺如何?
S\\(學生\\) : 挺好的,感覺比以往新穎,似乎更有興趣了.T: 你理解今天所講的任意角三角函數與初中學習的銳角三角函數的差別了嗎?
S: 理解了,初中學習內容是研究三角形邊角關系的,現在學習的是具有函數性質的. 不是同一個內容.S: 那你理解在這里引入單位圓的作用了嗎?
T: 差不多吧,圓具有周期性、對稱性,用來研究三角函數很好. 最后老師又問了一個問題,感覺還有內容要學習.T: 那今后采用這種方式上課怎么樣?
S: 好啊,不容易溜號了.圖 3 是對全體授課班級同學學習情況的統計,我們可以看到本節課的教學效果還是顯著的.
三角函數歷史悠久,有幾何的、代數的、解析的視角,現在向量也進入教材,三角函數和向量、復數之間的關系也應引起教師重視,教師把對三角函數概念的理解局限于一節課、一章里是不對的,學生對一個概念的理解不是一蹴而就的,需要一個循序漸進的過程. 作為教師更要有全局觀念,在教三角這一章時要用三角的眼光看待后續內容,適當的選擇教學方式方法. 因此建議教師在教授任意角三角函數概念的時候,不要把對學生理解此概念的任務放在這一節里,而是在整個單元的教學中都要反復的重視學生對任意角三角函數概念的理解情況. 從本課的課堂反饋和效果調查來看,基于 HPM 視角下的教學設計對于學生深刻理解數學概念有一定的促進作用.
5、結論與反思
人的認識過程與人類認識的過程是基本一致的,所以我們需要研究數學史. 了解數學發生和發展,數學發展的歷程也應在個人身上重現,使我們懂得應該怎樣安排學習順序,應該選擇哪些有生命力的內容. 教師在這一環節中起到了重要的作用.從實際教學上來看數學史雖然在數學課程標準和教材中都有明確的要求,但在實際課堂教學中卻幾乎沒有融入,即存在“高評價、低應用”、理論層面和實踐操作層面相脫離的現象. 雖然實際教學中,教師需要查閱大量的歷史資料并對其進行重新整合才能適用于課堂的教學,費時又費力,數學史在教學中的運用確實存在一定的困難. 但是我們不能忽視其作用,應該思考如何借助這一高效高產的方法提高我們教學的效果,讓學生了解數學的來龍去脈,體會其發展過程中蘊含的深刻數學思想,真正讓學生領會到數學的魅力,充分的激發學生的學習興趣.
參考文獻:
[1] 汪曉勤. HPM 研究的內容和方法[J]. 數學教育學報,2006,2\\(1\\) : 18.
